Математики создали тетраэдр, который всегда приземляется на одну и ту же сторону

Четырехсторонняя фигура, которая всегда будет покоиться на одной и той же стороне, независимо от того, на какую сторону она приземляется, была построена математиками спустя десятилетия после того, как впервые было высказано предположение о ее существовании.

Моностабильные формы, как и вся область теории чисел, являются одной из тех странных математических тривиальностей, которые тайно имеют важные приложения для реального и футуристического мира, в котором мы живем. Они были впервые постулированы богом-трикстером математики Джоном Конвеем еще в 60-х годах, и с тех пор разные люди придумывали конкретные примеры каждые несколько лет, но было одно вопиющее исключение из этой коллекции. Четырехсторонняя моностабильная форма — простейшая из возможных с точки зрения сторон — была бы невозможна.

По крайней мере, так сказал Конвей. Справедливости ради, он говорил именно о совершенно сбалансированном тетраэдре – взвешенная версия, сказал он, должна быть возможна. К сожалению, как и Ферма до него, он, похоже, так и не формализовал никаких доказательств этого или не привел пример, чтобы продемонстрировать это – так что математический мир просто остался в недоумении.

Но для Габора Домокоса, профессора геометрического моделирования в Будапештском университете технологий и экономики, этого было недостаточно. У него уже была одна известная гипотетическая моностабильная форма за плечами — черепаховый Гёмбёк, который он и его коллега Петер Варкони представили еще в 2006 году, — и теперь он собирался найти еще одну.

«У меня было мало сомнений», что такая форма должна существовать в теории, — рассказал Домокос. «Я полностью осознаю сверхчеловеческие умственные способности Конвея, и я знал, что он был убежден в этом. Это развеяло все мои сомнения».

Но как на самом деле найти форму? Это был совсем другой вопрос. Кроме сильной догадки, что она где-то там, Домокошу вместе с Герго Альмади, по сути, не на что было опереться: «Мы не теоретизировали никаких форм, потому что не могли», — говорит он. «И что до сих пор меня полностью поражает, так это как Конвей мог иметь какую-то интуицию относительно этого объекта, который находится на границе физического существования. Он, конечно, ничего не вычислял». 

Итак, вооружившись современными компьютерами, большой смекалкой и ничем больше, пара приступила к поискам. 

«Альмади провел довольно образованный, но все же грубый поиск», — рассказал Домокос. «В этом нет ничего особенного с сегодняшними компьютерами, но все же это сложная задача для студента-архитектора!»

То ли благодаря судьбе, то ли благодаря мужеству, в конце концов, пара потенциальных тетраэдров была найдена. «Мы сжигали процессор пару дней», — говорит Домокос, — «но вам, вероятно, понадобится всего пара часов». 

Должно быть, это был воодушевляющий результат — вплоть до того момента, как они прочитали подробности. На самом деле создание этих форм, казалось, было бы задачей где-то между «чрезвычайно сложной» и «невозможной». Одно решение сработало бы, только если бы оно было построено из какого-то материала «на порядок плотнее любого материала, найденного на Земле», сообщает команда в еще не прошедшей рецензирование предварительной публикации, размещенной в arXiv, так что это, вероятно, отпало; даже более осуществимый вариант требовал примерно 5000-кратной разницы в плотности между взвешенными и невзвешенными частями формы.

По сути, им нужно было построить форму, которая была бы сделана практически из воздуха, но при этом оставалась бы жесткой. Это была достаточно сложная задача, чтобы заставить Домокоса колебаться: «Я думал, что если бы было возможно спроектировать такой объект, кто-то бы уже это сделал», — рассказал он. 

«Я знал, насколько прекрасен этот вопрос», — говорит он, «и я знал, что есть много блестящих математиков и инженеров, гораздо лучше меня. Поэтому тот факт, что его, по-видимому, не существовало, сделал меня неуверенным».

В конце концов – и после небольшого количества проб и ошибок – решение было найдено. Оно представляло собой сверхлегкие трубки из углеродного волокна, которые использовались для формирования скелета формы, в сочетании с карбидом вольфрама для утяжеленных частей – соединение, чья очень высокая плотность традиционно делала его подходящим материалом для инструментов и боеприпасов. Результат: полностью функциональный, неоднородный, моностабильный тетраэдр.

Ну, почти. «Гениальный главный инженер Акош Тёрёк, создавший полную технологию для Билле, позвонил мне по телефону и сказал, что они построили его, но есть небольшая проблема: у него два устойчивых равновесия», — вспоминает Домокос. «Я был опустошен». 

«Я спросил, могла ли быть какая-либо ошибка в тщательно спланированном процессе производства», — рассказал он. «Он заверил меня, что они действовали «по инструкции», и, за исключением дополнительной капли клея размером в миллиметр, он идеален. Мы договорились, что они удалят пятно. И тогда это сработало. Я едва мог в это поверить».

Потребовалось шесть месяцев, тысячи евро собственных денег Домокоса и немалое упорство, но, наконец, форма будущего появилась.

Но в чем, помимо чисто математического любопытства, смысл открытия? Всего несколько месяцев назад компания по исследованию космоса Intuitive Machines сообщила, что лунный посадочный модуль перевернулся после достижения пункта назначения. Это был второй случай за два года, когда миссия закончилась неудачей после того, как космический аппарат остался с солнечными панелями вне солнечного света и не смог самостоятельно выровняться. 

Формы, подобные этой, предлагают потенциальное решение таких проблем. «Хотя, возможно, и невозможно спроектировать объекты, которые могут пассивно самовосстанавливаться на любой местности, проектирование для самовосстанавливания на горизонтальной опоре может быть осуществимо», — пишут они, «и мы надеемся, что для таких конструкций наше исследование может дать понимание».

Есть также математические импликации. Самовосстанавливающийся тетраэдр уже ответил на некоторые вопросы о потенциале так называемых моно-моностатических тетраэдров — четырехсторонних форм с одной устойчивой точкой равновесия и одной неустойчивой точкой равновесия, то есть точкой, на которой он будет балансировать, но только если вы будете очень осторожны и не потревожите его. «Мы охотились за ними во время поиска, — рассказывает Домокос, — но «мы их не нашли, а позже доказали, что их не существует».

Однако за пределами физических приложений — разве так плохо наслаждаться хорошо собранной головоломкой?

«Я знал, что если это вообще возможно, то это будет очень сложно, — говорит Домокос, — и нам понадобится вся наша геометрическая и инженерная интуиция. В целом мы боролись с моделью более 6 месяцев. Огромный энтузиазм Гергё был ключевым движущим фактором. Я знал, что если мы сможем осуществить это, это может стать началом его карьеры, и он этого заслуживает».