Математики открыли совершенно новый класс фигур

Как бы мы ни были умны как вид, Мать-природа почти всегда, кажется, нас побеждает. Это верно для таких вещей, как хирургия мозга и робототехника; это верно для гонки по предотвращению тепловой смерти планеты; и, по-видимому, это также верно для высшей математики.

«Центральной проблемой геометрии является мозаика пространства с помощью простых структур», — начинается новая статья, опубликованная исследователями из Оксфордского университета и сообщающая об открытии совершенно нового класса фигур, называемых мягкими ячейками. Статья опубликована в журнале PNAS Nexus.

«Классические решения, такие как треугольники, квадраты и шестиугольники на плоскости, а также кубы и другие многогранники в трехмерном пространстве, построены с острыми углами и плоскими гранями», — пишут авторы. «Однако многие мозаики в природе характеризуются формами с изогнутыми краями, неплоскими гранями и небольшим количеством острых углов, если таковые вообще имеются».

По сути, проблема в следующем: как лучше всего полностью заполнить пространство формами или объектами? Когда вы задаете этот вопрос людям, мы инстинктивно выбираем остроугольные формы — квадраты, треугольники, шестиугольники и тому подобное. Это имеет смысл — в конце концов, попробуйте заполнить пространство кругами, и вы обязательно получите какие-то пустые места, независимо от того, насколько маленькими или замысловатыми вы их упаковываете.

Но когда мы смотрим на то, как естественный мир ответил на этот вопрос, мы видим чрезвычайно редкое решение такого типа. Как говорит Ален Горели, профессор математического моделирования Оксфордского университета и один из авторов новой статьи: «Природа не только не терпит пустоты, она, похоже, также не терпит острых углов».

Рассмотрим, например, луковицу. Если ее разрезать пополам, то можно увидеть идеально упакованную коллекцию взаимосвязанных форм, но, конечно, никаких прямых углов или линий. То же самое и с мышечной тканью: поперечное сечение клеток, составляющих гладкие мышечные волокна, покажет мозаику из вытянутых кругов, длинных и тонких, с точками на обоих концах.

Теперь, это не то, что никто никогда не замечал, что эти формы существовали раньше – или что они являются изящным способом заполнить область, не оставляя пустого места. Но как именно они работают с математической точки зрения? Это было немного загадкой.

«Хотя комбинаторные свойства мозаик были подробно исследованы, меньше внимания уделялось гладкости ячеек», — поясняется в статье. «Поскольку кусочно-гладкие формы, такие как квадраты и кубы, заполняют пространство, а гладкие формы — нет, возникает естественный вопрос: насколько гладкими могут быть заполняющие пространство формы».

Это немного технически сложно, но сводится к следующему: если форма недостаточно «острая», то она просто не сможет успешно заполнить пространство. Поэтому команде нужно было ответить на вопрос, насколько минимально острой должна быть форма, чтобы успешно замостить пространство.

Решение, как они обнаружили, — это эти «мягкие ячейки». Это формы, которые «минимизируют количество острых углов», — объясняют они в статье, «заполняя пространство как мягкие плитки. Примечательно, что эти идеальные мягкие формы, рожденные геометрией, в изобилии встречаются в природе, от клеток до ракушек».

Эти формы особенно интересны, когда мы переходим от двух к трем измерениям. «Мягкие ячейки помогают объяснить, почему, когда вы смотрите на поперечное сечение камерной оболочки, на ней видны углы, а на трехмерной геометрии камер их нет», — объясняет Габор Домокос, профессор геометрического моделирования Будапештского университета технологий и экономики и один из авторов статьи.

Действительно, как и в случае со многими драматическими открытиями, эти формы можно найти везде, как только вы знаете, что искать. Они являются «геометрическими строительными блоками биологической ткани», объясняют ученые, управляя такими вездесущими природными формами, как рост кончиков, кровяные клетки, речные острова и ракушки.

«Создание и поддержание острых углов в физических клетках — сложная и затратная задача, — пишут исследователи, — поскольку поверхностное натяжение и эластичность естественным образом стремятся сгладить углы. Поэтому неудивительно, что в природе встречается множество мягких плиток».

«Отсутствие острых углов и их мягкая, сильно изогнутая геометрия делают мягкие клетки идеальными кандидатами на роль моделей биологических структур, которые развивались в условиях полного или частичного ограничения, чтобы заполнить пространство», — заключают они.