Математик открыл редкую восьмигранную фигуру

Фото из открытых источников

Ученый обнаружил необычную восьмигранную фигуру, в которой каждая грань соприкасается со всеми остальными; для ее описания используется набор простых целочисленных координат. Результаты нового исследования размещены на сервере препринтов arXiv.

Математики могут задавать абстрактные схемы, определяя, как должны соединяться вершины, ребра и грани. Однако выяснить, можно ли воплотить эти правила в реальный объект в трехмерном пространстве так, чтобы его части не пересекались там, где это недопустимо, бывает крайне сложно.

Руслан Мижаев, независимый исследователь и инженер-конструктор, разработал геометрическую модель многогранника рода 3 (по сути, поверхности с тремя отверстиями), состоящего из восьми плоских девятиугольных граней. Фигура имеет 24 вершины и 36 ребер, причем в каждой вершине сходятся три грани.

«Здесь восемь плоских многоугольных граней, и каждая из них граничит по ребру со всеми остальными семью, — говорит Мижаев. — Вместе они образуют замкнутую поверхность с тремя "ручками"».

В топологии — разделе математики, изучающем свойства фигур, которые не меняются при растяжении, скручивании или сжатии, — под «ручкой» понимают своего рода сквозное отверстие или туннель в поверхности. Например, у тора (фигуры в форме пончика) одна такая «ручка».

По своим свойствам этот объект напоминает тетраэдр и более известный многогранник Силаши: у них тоже все грани являются соседними. Однако в конструкции Мижаева некоторые пары граней имеют не одно, а два общих ребра.

Мижаев отмечает, что наткнулся на это свойство случайно, не ставя перед собой такой цели, во время экспериментов с поверхностями многогранников в системе автоматизированного проектирования (CAD). Сама по себе эта структура не нова: Мижаев впервые описал ее еще в 2020 году.

Новая работа, однако, дополняет описание целочисленными координатами для всех 24 вершин и уравнениями, позволяющими другим математикам проверить фигуру. Это дает возможность убедиться, что грани остаются плоскими, поверхность замыкается корректно, а части фигуры не пересекаются случайным образом (что часто случается с подобными объектами). Это открытие интересно, но его следует рассматривать как часть более масштабной картины, а не как совершенно новую инновацию, считает Ларс Шеве из Эдинбургского университета (Великобритания). «Это скорее недостающий ранее фрагмент», — говорит Шеве. По его словам, этот результат не опровергает существующие гипотезы, однако «построение таких фигур всегда было сложной задачей».

Сложность построения таких фигур обусловлена отсутствием надежного метода их создания. Один из подходов, основанных на методе «грубой силы» (полного перебора), предполагает составление огромного массива уравнений, определяющих положение каждой вершины и правила соединения граней, поясняет Шеве, — однако решение такой системы уравнений быстро становится практически невозможным.

Вместо этого исследователи часто полагаются на компьютерный поиск, геометрическую интуицию или даже физические модели. Мижаев использовал ChatGPT для выполнения проверочных расчетов и написания скриптов на языке Python для новой версии своей фигуры. При этом он отмечает, что первоначальный вариант фигуры был разработан еще в 2020 году — до того, как он начал пользоваться ChatGPT.

Для Шеве именно разрыв между описанием правил соединения элементов фигуры и ее реальным построением делает эти задачи столь интересными. «Я могу сформулировать правила, — говорит он, — но когда я пытаюсь построить или нарисовать эту фигуру, у меня ничего не выходит».