Записные книжки писцов раскрывают, как производились вычисления в римском Египте

Фото из открытых источников

Новый каталог эскизов, найденных на греческих математических папирусах римского Египта, показывает, что писцы рисовали диаграммы не только для иллюстрации своих вычислений, но и для их проведения. Рисунки служили одновременно черновиком, вспомогательным средством для запоминания и проверкой ответов.

Когда мы думаем о греческой математике, мы вспоминаем Евклида, Архимеда и Аполлония Пергского: изящные доказательства и общие правила. Наряду с этой традицией существовала и более скромная, которая редко попадает в учебники. Это была математика для выполнения работы, и новое исследование утверждает, что люди, которые её практиковали, в значительной степени опирались на рисунки.

Автор — Томас Келли, специалист по классической филологии, получивший образование в Кембриджском университете. Его исследование, опубликованное в журнале Historia Mathematica, представляет собой первый систематический каталог геометрических диаграмм, сохранившихся на греческих математических папирусах. Главный тезис Келли заключается в том, что эти эскизы были рабочими инструментами для решения задач, а не просто украшением.

В ходе раскопок на египетских памятниках, таких как Сокнопайу-Несос (сегодня Диме, в северном Фаюме) и Теадельфея (Батн-эль-Харит), были обнаружены тысячи папирусов, содержащих так называемую «практическую математику». Это была прикладная математика для решения повседневных задач: площадь поля, объем зернохранилища, количество земли, извлеченной при раскопках.

Тексты были написаны писцами для писцов и следуют установленному образцу. Каждый из них начинается с задачи, построенной на основе определенных чисел, а затем перечисляет шаги, ведущие к ответу. Практически никогда не объясняется, почему эти шаги работают. Вот тут-то и появляются диаграммы. Как отмечает Келли, роль диаграмм в этом виде древней математики является существенным пробелом в научных исследованиях.

Он проанализировал десять папирусов, содержащих геометрические диаграммы. Они охватывают несколько столетий и представляют широкий спектр стилей и контекстов. Три из них особенно выделяются:

• Папирус «P. Math» — это кодекс (ранняя книга с переплетенными страницами вместо свитка), опубликованный в 2019 году. Он содержит больше диаграмм, чем любой другой известный греческий папирус, и, вероятно, служил учебным пособием для подготовки будущих бизнесменов.
• MPER NS 1.1 — это папирусный свиток, предположительно датируемый I веком нашей эры, содержащий 27 диаграмм объемных трехмерных фигур.
• Уникальность издания P. Chic. 3 заключается в том, что в тексте нигде не указываются размеры фигур. Читателю приходится самостоятельно производить все замеры по чертежу.

Келли изучил рисунки писцов, а также их назначение. Он пришел к выводу, что диаграммы играли когнитивную роль для любого, кто работал с проблемным текстом. Представьте себе смесь черновиков, стикеров и ключа к ответам. Эскизы работали тремя способами.

• Рабочее пространство. Писцы записывали промежуточные результаты рядом с фигурой, например, квадраты сторон треугольника (длина каждой стороны умножалась сама на себя), поскольку эти числа им понадобятся позже. По сути, они перенесли часть своей памяти на папирус и освободили внимание для следующего шага. В папирусной математике числа рядом со сторонами некоторых фигур не являются реальными измерениями. Это производные значения, которые писец хотел запомнить.
• Вспомогательное средство для запоминания. Некоторые задачи состоят из нескольких этапов, например, вычисление площади неправильной четырехсторонней фигуры путем ее разбиения на более простые части. Диаграмма позволяла упорядочить каждое значение и его источник, чтобы писец не запутался в путанице чисел. В работе П. Багналла (35 ) задача на площадь с внутренними подразделениями заставила бы писца одновременно удерживать в памяти большое количество значений без использования чертежа.
• Способ проверки результата. Когда окончательный ответ был записан на диаграмме, читатель мог с первого взгляда увидеть, сработала ли процедура. Келли описывает тенденцию к полной маркировке. На современном экзамене диаграмма обычно скрывает ответ, тогда как на папирусах маркируется всё, включая решение.

Прямоугольные треугольники изображаются очень стандартным образом: прямой угол находится внизу слева, а основание часто шире высоты, даже если цифры указывают на обратное. По словам Келли, представление о том, как должен выглядеть прямоугольный треугольник, имело большее значение, чем точное изображение.

Нарисовать круги было сложнее. Выполнить идеальную окружность на папирусе было трудно, и большинство из них набрасывались от руки, без циркуля. Часто их приходилось сжимать, чтобы они соответствовали заранее нарисованной линии диаметра. В учебнике математики круги, как правило, вытянуты по вертикали, в то время как в других текстах они шире, чем выше.

Наиболее разнообразны объемные фигуры. Папирус MPER NS 1.1, считающийся старейшим в этой группе, содержит попытки изображения трехмерных фигур с использованием линейной перспективы, что необычно для текста такого рода.

В других папирусах предпочитают схематический подход и изображают оба конца объекта одновременно. В «Математике» задача g4 показывает цилиндр с двумя видимыми одновременно круглыми основаниями, которые не видны невооруженным глазом. Такое обозначение облегчало чтение размеров, и для вычислений этого было достаточно.

Папирусные записи также говорят кое-что о том, как передавалась математика из поколения в поколение. Келли подчеркивает, что эти диаграммы являются прямым источником, гораздо более близким к моменту использования знаний, чем средневековые копии, через которые до нас дошли труды Евклида или Архимеда.

Задачи на греческих папирусах имеют общие черты с математическими текстами Древнего Египта и Месопотамии: конкретные числа и отсутствие общих доказательств. Однако систематическое использование диаграмм в качестве инструментов вычислений, по-видимому, является особой чертой греко-римского мира, особенно в школах римского Египта.

Разница между оригинальной диаграммой и современной версией может быть весьма показательной. Келли приводит пример из MPER NS 1.1 1932 года, где изображение пирамиды было «украшено» и стандартизировано.

Он утратил свой трехмерный характер и, возможно, часть информации, которую изначально содержал. Келли надеется, что его каталог поможет будущим исследователям избежать проблем, которые создает преднамеренная стандартизация.